дит, то в точке x0 экстремума не будет

ЛЕКЦИЯ N5.

Приложения производной. Основные теоремы дифференциального исчисления.

1.Теоремы Ферма и Ролля.

Теорема 1. Если переменная величина принимает только неотрицательные значения (y=f(x)³0), то ее предел (если он существует) не может быть числом отрицательным.

Теорема 2. Если переменная величина принимает только неположительные значения (y=f(x)£0), то ее предел (если он существует) не может быть числом положительным.

Теорема 3. Если переменная величина имеет предел, отличный от нуля, то начиная с некоторого момента, она принимает значения только того знака, каков знак ее предела.

Теорема Ферма. (Ферма, 1601-1665 – французский математик).

Пусть функция f(x), определенная в интервале (a, b), принимает в некоторой точке x=c этого интервала наибольшее или наименьшее значение.

В таком случае, если в точке x=c существует производная этой функции, то она равна нулю.

Доказательство. Пусть f(с)=M, где М – наибольшее значение функции в интервале (a, b). Покажем, что f^/(c)=0. По определению производной: f^/(c)=.

Так как в точке x=c функция принимает наибольшее значение, то при любом знаке Dx имеем: f(c)³f(c+Dx) и f(c+Dx)-f(c)£0

Отсюда, если Dx>0, то и по теореме 2 имеем: f^/(c)= .

Если же Dx<0, то и f^/(c)=.

Сравнивая полученные для f^/(c) неравенства видим, что оба они удовлетворяются только тогда, когда f^/(c)=0, что и требовалось доказать. Геометрический смысл теоремы Ферма: касательная к графику функции y=f(x) в точке экстремума, в которой функция дифференцируема, параллельна оси Ox (так как y^/=tga=0), a=0°.

Для просмотра анимации нажмите

Теорема Ролля (Ролль, 1652-1719 – французский математик).

Если функция f(x) непрерывна на сегменте [a, b], дифференцируема во всех его внутренних точках и на концах сегмента обращается в нуль, то есть f(a)=f(b)=0, то ее производная f^/(x) обращается в нуль хотя бы в одной внутренней точке x=c этого сегмента.

Доказательство. Так как функция непрерывна на сегменте, то она достигает на этом сегменте своего наибольшего М и наименьшего значения m (смотри свойства функций, непрерывных на сегменте).

Если M=m, то функция постоянна на сегменте [a, b] и, следовательно, f^/(x)=0 в любой точке этого сегмента.

Пусть M¹m, тогда одно из этих чисел, например, M¹0. Поэтому, если наибольшее значение М достигается в точке c: f(c)=M, то точка с должна быть внутренней точкой сегмента [a, b], то есть должна принадлежать интервалу (a, b) (так как на концах сегмента f(a)=f(b)=0).

Следовательно, по теореме Ферма f^/(c)=0.

Замечание. Теорема Ролля верна и в том случае, если f(a)=f(b)¹0.

Геометрический смысл.

Если график непрерывной на сегменте [a, b] и дифференцируемой внутри него функции пересекает ось Ox в двух точках x=a и x=b, то между этими точками найдется хотя бы одна точка с, a<c<b, в которой касательная к графику параллельна оси абсцисс.

Замечание. Нарушение хотя бы одного из условий теоремы Ролля может привести к тому, что для соответствующей функции заключение теоремы не будет справедливо.

Для просмотра анимации нажмите

(здесь нарушена непрерывность внутри отрезка [a, b]).

Для просмотра анимации нажмите

Здесь нарушена непрерывность в точке x=a.

2.Теоремы Коши и Лагранжа.

Существуют две теоремы: теорема Лагранжа и теорема Коши, устанавливающие связь между приращениями функций на некотором отрезке и значениями их производных в некоторой точке, лежащей внутри этого отрезка. Теорема Лагранжа была доказана раньше теоремы Коши и является частным случаем последней.

Теорема Коши. Если две функции f(x) и j(x) непрерывны на отрезке [a, b] и дифференцируемы в промежутке (a, b), причем производная j^/(x) второй из них не обращается в нуль в этом промежутке, то отношение конечных приращений этих функций на отрезке [a, b] равно отношению их производных в некоторой точке с промежутка (a, b) (быть может не единственной):

Замечание. j(b)-j(a)¹0, так как иначе по теореме Ролля производная j^/(x) обращалась бы в нуль хотя бы в одной точке промежутка (a, b), а по теореме Коши j^/(x)¹0.

Доказательство. Введем вспомогательную функцию F(x), где

F(x)=

Или F(x)=f(x)(j(a)-j(b))-j(x)(f(a)-f(b))+f(a)j(b)-f(b)j(a) (1)

F(x)=f(x)-f(a)-

Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля:

1) она непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема в промежутке (a, b), так как является линейной комбинацией f(x) и j(x);

2) F(a)=F(b)=0 (по свойству определителя, имеющие две равные строки).

Поэтому, по теореме Ролля F^/(x) обращается в нуль в некоторой внутренней точке с отрезка [a, b]: F^/(c)=0

Но

F^/(x)=(так как определитель – это функция (1) от x, а f(a), j(a), f(b), j(b) – это коэффициенты разложения по первой строке).

Полагая, x=c, найдем F^/(c)==0 или [j(a)-j(b)]f^/(c)-[f(a)-f(b)]j^/(c)=0.

Преобразуем это выражение к другому виду, учитывая, что j^/(с)¹0 и j(b)-j(a)¹0.

(2), что и требовалось доказать.

Положим теперь j(x)=x, тогда j(b)-j(a)=b-a: j^/(x)º1; j^/(c)=1.

Подставляя эти значения в равенство (2), получим или

f(b)-f(a)=f^/(c)×(b-a) (3)

Эта формула (3) называется формулой Лагранжа (формулой конечных приращений), и определяет содержание следующей теоремы:

Теорема Лагранжа (о среднем): Конечное приращение на отрезке [a, b] функции, непрерывной на этом отрезке и дифференцируемой внутри него, равно произведению конечного приращения аргумента на этом отрезке на значение производной в некоторой внутренней точке с отрезка [a, b].

Рассмотрим, в чем состоит геометрический смысл теоремы Лагранжа:

, но - это угловой коэффициент уравнения хорды MN,

соединяющей точки M и N графика функции y=f(x).

С другой стороны: правая часть формулы равна угловому коэффициенту касательной к этому графику в точке Р с абсциссой x=c, где a<c<b.

Для просмотра анимации нажмите

f^/(c)=tga.

Итак, формула устанавливает равенство угловых коэффициентов хорды и касательной, то есть параллельность хорды и касательной.

Таким образом, геометрический смысл теоремы Лагранжа заключается в следующем: на произвольной дуге графика дифференцируемой функции всегда найдется такая точка, в которой касательная к графику будет параллельна хорде, стягивающей концы дуги.